Temperatura d'equilibrio

Si consideri lo scambio di calore tra due corpi. Nell'ipotesi che il fenomeno avvenga in un ambiente isolato, cosicché siano trascurabili le dispersioni di calore., la temperatura d'equilibrio si calcola come segue.

 

Si vede quindi che la temperatura d'equilibrio è la media pesata delle temperature iniziali dei due corpi, dove i pesi di ciascuna di esse sono determinati dalle rispettive capacità termiche in rapporto alla capacità termica totale.

(peccato per la messa a fuoco!)

Incertezze nelle misure con dilatometro

Consideriamo la misura del coefficiente di dilatazione termica lineare mediante un dilatometro come questo:

 

Il coefficiente, indicato solitamente con la lettera lambda dell’alfabeto greco (lo indicheremo con \lambda), si ricava dalla legge per la dilatazione termica lineare:

 

Il dilatometro consente dunque di misurare \lambda indirettamente, a partire da misure dirette della dilatazione (*), della lunghezza iniziale e della variazione di temperatura: poiché il coefficiente \lambda si ottiene da queste grandezze mediante prodotti e divisioni, l’incertezza relativa su \lambda è pari alla somma delle incertezze relative sulle tre grandezze misurate (**); si ha quindi:

.

Ciascuna di queste incertezze dipende dalla sensibilità degli strumenti utilizzati.

Per la misura della dilatazione, la scala del dilatometro è graduata in millimetri e si ha perciò un’incertezza assoluta di circa 2 mm (***). Per una dilatazione apparente tipicamente di circa 3 cm , questo comporta un’incertezza relativa stimabile come:

.

Per quanto riguarda la lunghezza iniziale, essa si può supporre affetta da incertezza dell’ordine del millimetro; trattandosi, per questo dilatometro, di sbarre di lunghezza 50 cm, l’incertezza relativa è circa

 

Infine l’incertezza sulla variazione della temperatura è di circa 2 decimi di grado, essendo 0,1 °C la sensibilità del termometro digitale a filo (il termometro a mercurio ha sensibilità di 0,2 °C); per una variazione tipica di circa 70 °C, ciò che si realizza utilizzando vapore acqueo per il riscaldamento della sbarra cava, si ha quindi:

L’incertezza complessiva sul coefficiente di dilatazione lineare risulta pari al 10 % . Tale stima è piuttosto grossolana e, quasi certamente, eccessiva; tuttavia non è molto lontana dall’incertezza tipica che si può riscontrare ripetendo la misura più volte. Si osservi che, come era prevedibile, la misura con un margine di incertezza maggiore è quella della dilatazione.

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(*) In effetti la misura della dilatazione non è a pieno titolo “diretta”, dato che vi è un’amplificazione legata all’indice mobile, tuttavia ai fini della stima delle incertezze può essere trattata come tale.

(**) Le stime che qui consideriamo sono assai approssimative; un esame più accurato richiederebbe l’applicazione di formule di somma in quadratura per le incertezze relative.

(***) La stima è già eccessiva e tiene conto delle letture iniziale e finale. Poiché tale indicazione è 50 volte più grande della dilatazione reale, il dilatometro consente di misurare dilatazioni con incertezze assolute di circa 2 cinquantesimi di millimetro, cioè di 0,04 mm. Ovviamente, trattandosi di un rapporto, si ottiene la stessa incertezza relativa considerando  la dilatazione apparente o quella reale.