Cambio indirizzo

Da oggi queste pagine proseguono ad un nuovo indirizzo:

http://fismag10.wordpress.com . 

Anello di buchi neri

Dall'osservatorio Chandra della NASA giunge un'immagine stupefacente:

L'immagine è tratta dal sito dell'osservatorio Chandra: http://chandra.harvard.edu/photo/2011/arp147/arp147.jpg

Secondo gli scienziati della NASA l'immagine rappresenta la collisione tra due galassie distanti 430 milioni di anni luce dalla Terra: l'anello blu sulla destra, ciò che rimane di una delle due galassie, sarebbe costituito di stelle di neutroni e buchi neri.
L'indirizzo dell'archivio fotografico dell'Osservatorio è il seguente: http://chandra.harvard.edu/photo/ .

Thomas Alva Edison

Oggi è il 164° anniversario della nascita di Thomas Alva Edison (11 febbraio 1847), inventore ed imprenditore statunitense.
Il suo brevetto più famoso è quello per la lampadina a incandescenza.
In effetti non fu Edison a "inventare" questo straordinario dispositivo, ma furono lui ed i suoi dipendenti a realizzare una lampada di durata maggiore rispetto a quelle precedenti ed un sistema di distribuzione dell'energia elettrica.

Foto dalla ISS

Straordinaria foto notturna dell'Italia del Nord vista dalla Stazione Spaziale Internazionale (ISS), nell'archivio dell'astronauta Paolo Nespoli:
http://www.flickr.com/photos/magisstra/5422876890/

IYC 2011

Il 2011 è l'Anno Internazionale della Chimica (International Year of Chemistry, IYC).
Il sito ufficiale dell'iniziativa è il seguente: http://www.chemistry2011.org/ .
Il sito italiano corrispondente è: http://www.chimica2011.it/ .

Nel sito del premio Nobel sono disponibili quattro filmati nei quali 16 premi Nobel per la Chimica spiegano "perché la chimica è importante" ("Why Chemistry Matters"); l'indirizzo è il seguente:http://nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/chemistry_matters.html .

Buco nero supermassivo nel centro della galassia

Vi è ormai un discreto consenso sull'idea che al centro della nostra galassia, la Via Lattea, vi sia un buco nero di grande massa ("supermassive black hole").
L'esistenza e le proprietà di questo buco nero sono state dedotte, negli ultimi anni, dall'osservazione e dalla misura delle velocità e delle accelerazioni di molte stelle che si muovono nella zona più vicina al centro galattico. La massa del buco nero è stimata pari a circa 4 milioni di volte quella del nostro Sole.
E' molto interessante notare che la stima della massa dell'oggetto centrale si ottiene dall'applicazione delle leggi di Keplero alle orbite osservate: alcune stelle compiono infatti orbite ellittiche molto "schiacciate" (eccentriche), aventi un fuoco proprio nel buco nero. Le osservazioni delle posizioni delle stelle sono compiute mediante un telescopio che rileva le onde elettromagnetiche emesse dalle stelle nella parte dello spettro corrispondente all'infrarosso.
Vi è una bellissima immagine nella quale sono tracciate le traiettorie di alcune di queste stelle: l'immagine si trova sul sito dell'Università della California, con sede a Los Angeles, presso la quale opera uno dei gruppi che hanno compiuto le misure più precise negli ultimi quindici anni.

1. L'immagine in questione è all'indirizzo: http://www.astro.ucla.edu/~ghezgroup/gc/pictures/orbitsOverImage10.shtml .
2. Ancora più interessante è una animazione di quest'immagine, all'indirizzo: http://www.astro.ucla.edu/~ghezgroup/gc/pictures/orbitsMovie.shtml . Qui sono tracciate le orbite delle stelle tra il 1995 ed il 2010.
3. Infine questo è l'indirizzo al quale si può consultare la versione online dell'articolo con il quale, nel 2003, si dava l'annuncio delle nuove misure eseguite dal gruppo citato: http://arxiv.org/PS_cache/astro-ph/pdf/0306/0306130v2.pdf .

Ovviamente la determinazione delle traiettorie, la misura delle distanze e della velocità reciproche degli oggetti celesti studiati è la parte più complessa dei lavori di questo tipo, come quello appena citato. Ci limiteremo qui a verificare che la stima della massa dell'oggetto oscuro (del probabile buco nero) si ricava dall'applicazione diretta della terza legge di Keplero. A questo scopo facciamo riferimento all'articolo citato.

 

Astronomy Picture of the Day

Segnalo il sito Astronomy Picture of the Day (APOD) : è mantenuto dalla NASA e dall'Università del Michigan ed offre ogni giorno un'immagine colta dal mondo dell'astronomia. Ogni immagine è conservata in un archivio consultabile gratuitamente.
Ci si può iscrivere al feed RSS e ricevere così automaticamente ogni giorno una nuova immagine.

L'indirizzo è: http://apod.nasa.gov

Sull'enunciato del primo principio della Termodinamica

Sul libro di testo il primo principio della Termodinamica è enunciato (volume 2, unità 15, pagina 359) in un modo che potrebbe lasciare qualche dubbio nel lettore. Riporto tale enunciato qui di seguito:

La variazione dell’energia interna di ogni sistema termodinamico, qualunque sia la trasformazione che esso subisce, è uguale alla differenza fra la quantità di calore che il sistema assorbe dall’ambiente e il lavoro che compie sull’ambiente.

Subito dopo il testo aggiunge questa considerazione:

Il primo principio della termodinamica è una generalizzazione del principio di conservazione dell’energia.

Ho sottolineato le espressioni che vorrei precisare.

1. Si dice che la relazione che esprime tale principio vale  "qualunque sia la traformazione" alla quale il sistema è sottoposto. Bisogna intendere “qualunque trasformazione che abbia il solo effetto di modificare le grandezze fisiche termodinamiche che descrivono lo stato del sistema”: a ciò si allude nel testo riferendosi ad un “sistema termodinamico”, tuttavia non vi è nelle pagine precedenti una definizione più precisa di cosa si intenda per sistema termodinamico. Così l’espressione “qualunque sia la trasformazione” potrebbe essere fraintesa e lasciar supporre che ciò valga anche per trasformazioni che modificano le grandezze fisiche che descrivono lo stato del sistema dal punto di vista meccanico.
2. Con riferimento al termine “generalizzazione”. Se si intende riferirsi alla conservazione dell’energia meccanica, “generalizzazione” potrebbe lasciar intendere che il primo principio della termodinamica comprende, come suo caso particolare, il principio di conservazione dell’energia meccanica, ma ciò non è vero: essi sono analoghi ma si riferiscono ad ambiti diversi. Se si intende riferirsi alla conservazione dell’energia totale di un sistema, allora è il principio di conservazione dell’energia che comprende, come caso particolare, il primo principio della termodinamica.

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Propongo un breve schema della questione.

 

 

 

Immagini dalla Stazione Spaziale Internazionale

Straordinarie immagini colte dalla Stazione Spaziale Internazionale (International Space Station - ISS) si possono trovare nella rete un po' ovunque.
Consiglio l'indirizzo dell'archivio fotografico dell'astronauta italiano Paolo Nespoli, attualmente sulla ISS:
http://www.flickr.com/photos/magisstra
tra le più recenti, le bellissime foto del sorgere della luna:
http://www.flickr.com/photos/magisstra/5372739290/

Equivalenza tra calore e lavoro

L'equivalente meccanico della caloria è il rapporto tra il lavoro eseguito su un sistema, avente come unico effetto la variazione della sua temperatura, e la quantità di calore che, fornita al sistema, produrrebbe la stessa variazione di temperatura.
Per la misura dell'equivalente meccanico della caloria si può utilizzare il dispositivo schematizzato qui sotto.

Le grandezze fisiche che è necessario misurare per determinare j sono indicate qui sotto con i rispettivi valori.

La stima che si ottiene per j è in discreto accordo con il valore atteso:

j = 4,19 J/cal.

Equilibrio di un corpo vincolato in un punto

Condizione di equilibrio.

Consideriamo un corpo vincolato in un suo punto O al quale siano applicate due forze. La condizione necessaria affinché il corpo rimanga in equilibrio è che il momento risultante delle forze applicate al corpo, calcolato rispetto al punto O di vincolo, sia nullo.
Ricordiamo che il momento di una forza rispetto ad un punto è il prodotto dell’intensità della forza per la distanza tra la forza (cioè la retta su cui essa giace) ed il punto in questione.
Possiamo constatare la validità della condizione di equilibrio anche semplicemente esaminando la foto qui sotto.

Indichiamo con 1 le grandezze fisiche relative ai pesi a sinistra e con 2 quelle relative a i pesi a destra del perno centrale O.
Dato che la sbarra è in equilibrio sotto l’azione dei pesi applicati, deve valere la condizione:

ora, poiché abbiamo

la condizione di equilibrio si può scrivere così:

Tale condizione significa che si può ottenere equilibrio variando forze e distanze, purché le intensità delle due forze siano inversamente proporzionali alle corrispondenti distanze dal punto di vincolo; in simboli:

Misura delle distanze.

Possiamo verificare  la validità di questa condizione anche esaminando la fotografia.
I programmi che consentono di modificare le foto (ad es. GIMP) consentono anche di rilevare la posizione di un punto fornendone le coordinate in pixel. Potremmo quindi determinare le distanze in millimetri, semplicemente confrontandole con una distanza di riferimento, ad esempio la lunghezza dell'intera sbarra che è di 40,0 cm. Tuttavia ciò non è necessario, poiché è sufficiente confrontare tra loro le due distanze d1 e d2 per verificare che il loro rapporto è l'inverso del rapporto tra le forze: ovviamente, il valore del rapporto tra due distanze non dipende dall'unità di misura scelta.
Una volta note le coordinate dei punti rilevanti, le distanze tra le forze ed il punto sono semplicemente ricavabili dalle coordinate orizzontali, cioè dalle differenze tra le ascisse dei punti interessati: questo perché le forze sono verticali per definizione, e lo sono approssimativamente anche nella foto.

Nel nostro caso le distanze tra le due forze ed il punto O risultano:
d1 = 516 pixel ,
d2 = 388 pixel.

Il rapporto d2/d1 risulta così 0,75, in ottimo accordo con il rapporto F1/F2 tra le forze (dato che una corrisponde a 3 pesetti e l'altra a 4 pesetti).

Incertezze nelle misure e precisione nella stima dei momenti.

Le intensità delle forze sono note con una tolleranza (dichiarata dal costruttore) inferiore all'1 %:

Le distanze sono misurate, in genere, con righe millimetrate ed hanno dunque un'incertezza relativa dell'ordine di:

La precisione consentita dagli strumenti in dotazione per la misura del momento risulta quindi:

Temperatura d'equilibrio

Si consideri lo scambio di calore tra due corpi. Nell'ipotesi che il fenomeno avvenga in un ambiente isolato, cosicché siano trascurabili le dispersioni di calore., la temperatura d'equilibrio si calcola come segue.

 

Si vede quindi che la temperatura d'equilibrio è la media pesata delle temperature iniziali dei due corpi, dove i pesi di ciascuna di esse sono determinati dalle rispettive capacità termiche in rapporto alla capacità termica totale.

(peccato per la messa a fuoco!)

Incertezze nelle misure con dilatometro

Consideriamo la misura del coefficiente di dilatazione termica lineare mediante un dilatometro come questo:

 

Il coefficiente, indicato solitamente con la lettera lambda dell’alfabeto greco (lo indicheremo con \lambda), si ricava dalla legge per la dilatazione termica lineare:

 

Il dilatometro consente dunque di misurare \lambda indirettamente, a partire da misure dirette della dilatazione (*), della lunghezza iniziale e della variazione di temperatura: poiché il coefficiente \lambda si ottiene da queste grandezze mediante prodotti e divisioni, l’incertezza relativa su \lambda è pari alla somma delle incertezze relative sulle tre grandezze misurate (**); si ha quindi:

.

Ciascuna di queste incertezze dipende dalla sensibilità degli strumenti utilizzati.

Per la misura della dilatazione, la scala del dilatometro è graduata in millimetri e si ha perciò un’incertezza assoluta di circa 2 mm (***). Per una dilatazione apparente tipicamente di circa 3 cm , questo comporta un’incertezza relativa stimabile come:

.

Per quanto riguarda la lunghezza iniziale, essa si può supporre affetta da incertezza dell’ordine del millimetro; trattandosi, per questo dilatometro, di sbarre di lunghezza 50 cm, l’incertezza relativa è circa

 

Infine l’incertezza sulla variazione della temperatura è di circa 2 decimi di grado, essendo 0,1 °C la sensibilità del termometro digitale a filo (il termometro a mercurio ha sensibilità di 0,2 °C); per una variazione tipica di circa 70 °C, ciò che si realizza utilizzando vapore acqueo per il riscaldamento della sbarra cava, si ha quindi:

L’incertezza complessiva sul coefficiente di dilatazione lineare risulta pari al 10 % . Tale stima è piuttosto grossolana e, quasi certamente, eccessiva; tuttavia non è molto lontana dall’incertezza tipica che si può riscontrare ripetendo la misura più volte. Si osservi che, come era prevedibile, la misura con un margine di incertezza maggiore è quella della dilatazione.

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(*) In effetti la misura della dilatazione non è a pieno titolo “diretta”, dato che vi è un’amplificazione legata all’indice mobile, tuttavia ai fini della stima delle incertezze può essere trattata come tale.

(**) Le stime che qui consideriamo sono assai approssimative; un esame più accurato richiederebbe l’applicazione di formule di somma in quadratura per le incertezze relative.

(***) La stima è già eccessiva e tiene conto delle letture iniziale e finale. Poiché tale indicazione è 50 volte più grande della dilatazione reale, il dilatometro consente di misurare dilatazioni con incertezze assolute di circa 2 cinquantesimi di millimetro, cioè di 0,04 mm. Ovviamente, trattandosi di un rapporto, si ottiene la stessa incertezza relativa considerando  la dilatazione apparente o quella reale.

Molla verticale

Consideriamo una molla sospesa in verticale ad un suo estremo: all’estremo libero sia agganciato un oggetto di massa m , così piccolo da essere approssimabile ad un punto materiale , e sia k la costante elastica della molla.

Le forze agenti sul punto materiale, trascurando gli attriti, sono due: la forza peso, costantemente diretta verso il basso, e la forza elastica della molla, forza di richiamo diretta verso la posizione di riposo della molla.

Poniamo l'origine del sistema di riferimento nella posizione in cui la molla scarica è a riposo e assumiamo positivi gli spostamenti x verso il basso, come indicato nel disegno qui sotto.

L’equazione generale del moto per il punto materiale risulta la seguente:

 

dove i due puntini sopra la x indicano la derivata seconda rispetto al tempo.

La generica soluzione dell’equazione differenziale omogenea:

 

si può scrivere così:

 

dove A e B sono due parametri arbitrari e si ha

Possiamo dunque cercare la soluzione dell’equazione differenziale completa, disomogenea, tra le funzioni della forma:

 

Sostituendo quest’espressione nell’equazione del moto si ottiene la condizione:

 

Come si può verificare facilmente, la soluzione generale dell’equazione del moto risulta quindi la seguente:

 

Si tratta, come era facile intuire, di un moto armonico la cui frequenza

 

è la frequenza propria dell’oscillatore armonico ed è la stessa che si avrebbe se la molla fosse disposta in orizzontale ed il punto materiale potesse scivolare senza attrito, cioè è la stessa che si avrebbe senza la forza peso. Dunque l’applicazione di una forza esterna costante ad un oscillatore armonico produce ancora un moto armonico con la stessa frequenza; l’unico effetto è una traslazione del centro di oscillazione, che si trova ora nella nuova posizione di equilibrio:

 

Questa è la posizione di equilibrio perché in questa posizione le due forze sono uguali e contrarie; infatti:

 

________________________________________

 

Vogliamo ora studiare il moto del punto materiale con differenti condizioni iniziali ( C.I. ).

1. Consideriamo la molla inizialmente scarica ed a riposo. Agganciando alla molla l’oggetto di massa m essa scende ed inizia a oscillare attorno alla nuova posizione di equilibrio x_0 . Nell’istante iniziale in cui l’oggetto agganciato alla molla viene lasciato scendere verso il basso lo spostamento dall’origine e la velocità sono quindi nulle. L’oscillazione avviene dunque attorno alla posizione di equilibrio x_0 indicata precedentemente e la sua ampiezza è pari alla distanza tra la posizione iniziale ed il centro di oscillazione.
2. Consideriamo la molla carica ed inizialmente ferma nella sua posizione di equilibrio x_0. Ovviamente il punto materiale non oscilla spontaneamente e rimane fermo nella posizione di equilibrio.
3. Consideriamo la molla carica ed inizialmente ferma in una posizione diversa da quella di equilibrio. Sia Delta x la deformazione iniziale della molla. Questa soluzione corrisponde ad oscillazioni di ampiezza Delta x il cui centro è la posizione di equilibrio x_0 .

 

 

Per quest’ultimo caso è interessante osservare i risultati di misure compiute con un sonar su un pesetto sospeso ad una molla in verticale. Nelle colonne dispari vi sono i tempi, misurati in secondi, mentre nelle colonne pari vi sono le posizioni, misurate in metri rispetto al sonar.

Il grafico corrispondente è il seguente: