Consideriamo la misura del coefficiente di dilatazione termica lineare mediante un dilatometro come questo:
Il coefficiente, indicato solitamente con la lettera lambda dell’alfabeto greco (lo indicheremo con \lambda), si ricava dalla legge per la dilatazione termica lineare:
Il dilatometro consente dunque di misurare \lambda indirettamente, a partire da misure dirette della dilatazione (*), della lunghezza iniziale e della variazione di temperatura: poiché il coefficiente \lambda si ottiene da queste grandezze mediante prodotti e divisioni, l’incertezza relativa su \lambda è pari alla somma delle incertezze relative sulle tre grandezze misurate (**); si ha quindi:
.
Ciascuna di queste incertezze dipende dalla sensibilità degli strumenti utilizzati.
Per la misura della dilatazione, la scala del dilatometro è graduata in millimetri e si ha perciò un’incertezza assoluta di circa 2 mm (***). Per una dilatazione apparente tipicamente di circa 3 cm , questo comporta un’incertezza relativa stimabile come:
.
Per quanto riguarda la lunghezza iniziale, essa si può supporre affetta da incertezza dell’ordine del millimetro; trattandosi, per questo dilatometro, di sbarre di lunghezza 50 cm, l’incertezza relativa è circa
Infine l’incertezza sulla variazione della temperatura è di circa 2 decimi di grado, essendo 0,1 °C la sensibilità del termometro digitale a filo (il termometro a mercurio ha sensibilità di 0,2 °C); per una variazione tipica di circa 70 °C, ciò che si realizza utilizzando vapore acqueo per il riscaldamento della sbarra cava, si ha quindi:
L’incertezza complessiva sul coefficiente di dilatazione lineare risulta pari al 10 % . Tale stima è piuttosto grossolana e, quasi certamente, eccessiva; tuttavia non è molto lontana dall’incertezza tipica che si può riscontrare ripetendo la misura più volte. Si osservi che, come era prevedibile, la misura con un margine di incertezza maggiore è quella della dilatazione.
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(*) In effetti la misura della dilatazione non è a pieno titolo “diretta”, dato che vi è un’amplificazione legata all’indice mobile, tuttavia ai fini della stima delle incertezze può essere trattata come tale.
(**) Le stime che qui consideriamo sono assai approssimative; un esame più accurato richiederebbe l’applicazione di formule di somma in quadratura per le incertezze relative.
(***) La stima è già eccessiva e tiene conto delle letture iniziale e finale. Poiché tale indicazione è 50 volte più grande della dilatazione reale, il dilatometro consente di misurare dilatazioni con incertezze assolute di circa 2 cinquantesimi di millimetro, cioè di 0,04 mm. Ovviamente, trattandosi di un rapporto, si ottiene la stessa incertezza relativa considerando la dilatazione apparente o quella reale.
Consideriamo una molla sospesa in verticale ad un suo estremo: all’estremo libero sia agganciato un oggetto di massa m , così piccolo da essere approssimabile ad un punto materiale , e sia k la costante elastica della molla.
Le forze agenti sul punto materiale, trascurando gli attriti, sono due: la forza peso, costantemente diretta verso il basso, e la forza elastica della molla, forza di richiamo diretta verso la posizione di riposo della molla.
Poniamo l'origine del sistema di riferimento nella posizione in cui la molla scarica è a riposo e assumiamo positivi gli spostamenti x verso il basso, come indicato nel disegno qui sotto.
L’equazione generale del moto per il punto materiale risulta la seguente:
dove i due puntini sopra la x indicano la derivata seconda rispetto al tempo.
La generica soluzione dell’equazione differenziale omogenea:
si può scrivere così:
dove A e B sono due parametri arbitrari e si ha 
Possiamo dunque cercare la soluzione dell’equazione differenziale completa, disomogenea, tra le funzioni della forma:
Sostituendo quest’espressione nell’equazione del moto si ottiene la condizione:
Come si può verificare facilmente, la soluzione generale dell’equazione del moto risulta quindi la seguente:
Si tratta, come era facile intuire, di un moto armonico la cui frequenza
è la frequenza propria dell’oscillatore armonico ed è la stessa che si avrebbe se la molla fosse disposta in orizzontale ed il punto materiale potesse scivolare senza attrito, cioè è la stessa che si avrebbe senza la forza peso. Dunque l’applicazione di una forza esterna costante ad un oscillatore armonico produce ancora un moto armonico con la stessa frequenza; l’unico effetto è una traslazione del centro di oscillazione, che si trova ora nella nuova posizione di equilibrio:
Questa è la posizione di equilibrio perché in questa posizione le due forze sono uguali e contrarie; infatti:
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Vogliamo ora studiare il moto del punto materiale con differenti condizioni iniziali ( C.I. ).
L’oscillazione avviene dunque attorno alla posizione di equilibrio x_0 indicata precedentemente e la sua ampiezza è pari alla distanza tra la posizione iniziale ed il centro di oscillazione. 
Ovviamente il punto materiale non oscilla spontaneamente e rimane fermo nella posizione di equilibrio. 
Questa soluzione corrisponde ad oscillazioni di ampiezza Delta x il cui centro è la posizione di equilibrio x_0 .
Per quest’ultimo caso è interessante osservare i risultati di misure compiute con un sonar su un pesetto sospeso ad una molla in verticale. Nelle colonne dispari vi sono i tempi, misurati in secondi, mentre nelle colonne pari vi sono le posizioni, misurate in metri rispetto al sonar.
Il grafico corrispondente è il seguente:
In generale, un punto materiale si muove di moto armonico quando l’intensità della risultante delle forze applicate ad esso è direttamente proporzionale al suo spostamento rispetto ad un punto di riferimento in cui esso è in equilibrio.
Nel caso del pendolo la forza che agisce nella direzione del moto è la componente del peso diretta lungo la tangente alla traiettoria (nel disegno qui sotto è indicata come la componente parallela alla tangente).
Lo spostamento effettivo è rappresentato dall’arco di circonferenza di lunghezza s.
L’intensità della componente P_parallela e la lunghezza s dello spostamento non sono direttamente proporzionali.
Tuttavia P_parallela risulta direttamente proporzionale alla lunghezza x dello spostamento trasversale; infatti, per come è definita la funzione seno, valgono le relazioni:
da cui si ottiene la proporzione
dove l è, ovviamente, la lunghezza del pendolo.
La proporzionalità ottenuta non è quella che corrisponde all’armonicità. Tuttavia, è evidente che se l’ampiezza delle oscillazioni è piccola lo scarto tra lo spostamento effettivo s e la sua proiezione x ( cioè lo scarto tra l’arco di cerchio e la corda che lo sottende ) è anch’esso piccolo: dunque per oscillazioni di piccola ampiezza l’intensità della forza è, approssimativamente, direttamente proporzionale allo spostamento s ed il moto risulta, sempre approssimativamente, armonico.
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Vogliamo ora valutare la bontà di quest’approssimazione.
Per la lunghezza della corda x si ha:
mentre per la lunghezza dell’arco, confrontando l’angolo al centro con l’intero angolo giro e l’arco con l’intera circonferenza, si ha:
da cui si ricava:
Possiamo valutare lo scarto relativo tra le due quantità:
il calcolo per alcuni valori dell’angolo al vertice fornisce i seguenti risultati:
La differenza tra le due espressioni è già dell’ordine dell’1 % per oscillazioni di ampiezza minore di 15°, mentre per un angolo di 45° lo scarto è dell’ordine del 10 %.
Un satellite, nel suo moto di rivoluzione attorno ad un centro di gravità, è sottoposto solamente alla forza gravitazionale che agisce come forza centripeta deviandolo continuamente verso il centro dell’orbita.
In effetti un satellite cade continuamente verso il centro e contemporaneamente trasla nella direzione indicata, punto per punto, dalla tangente alla circonferenza. Il moto sulla curva risulta dalla composizione di questi due moti (cioè del moto tangenziale e di quello radiale).
Supponiamo per semplicità che il satellite percorra un’orbita circolare.
Durante la fase “stabile” del moto di rivoluzione non vi sono forze agenti sul satellite dirette lungo la circonferenza (o meglio, lungo la tangente ad essa), quindi il modulo della velocità del moto lungo la circonferenza, cioè della velocità tangenziale, deve rimanere costante.
Tale velocità tangenziale deve soddisfare la relazione ben nota
da cui deriva l’espressione per la velocità appropriata ad un’orbita di raggio R
Questa velocità viene impressa ad un satellite artificiale nella fase di messa in orbita. Essi vengono trasportati da un razzo vettore il cui lancio avviene al suolo in direzione verticale (cioè radiale). In seguito il razzo modifica la propria traiettoria curvando progressivamente man mano che si avvicina alla quota dell’orbita; il razzo si inclina gradualmente fino a che la direzione del suo moto è quella della tangente alla circonferenza su cui dovrà orbitare il satellite: a questo punto il razzo vettore si sgancia e libera il satellite, che da qui in poi proseguirà, per inerzia, muovendosi lungo la circonferenza. La velocità tangenziale del satellite è dunque quella che gli è stata impressa dal razzo vettore.
Durante la messa in orbita la forma della traiettoria percorsa dal razzo è rappresentata dal seguente disegno:
La ISS orbita attorno alla Terra ad una quota di circa 350 km rispetto alla superficie terrestre. Nel suo moto di rivoluzione essa è sottoposta, in prima approssimazione, solamente all’attrazione gravitazionale del pianeta Terra. Determinare la sua velocità ed il periodo del suo moto di rivoluzione.
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Questo problema è del tutto analogo al problema 13 , tuttavia un calcolo in una situazione realistica è più interessante.
