Molla verticale

Consideriamo una molla sospesa in verticale ad un suo estremo: all’estremo libero sia agganciato un oggetto di massa m , così piccolo da essere approssimabile ad un punto materiale , e sia k la costante elastica della molla.

Le forze agenti sul punto materiale, trascurando gli attriti, sono due: la forza peso, costantemente diretta verso il basso, e la forza elastica della molla, forza di richiamo diretta verso la posizione di riposo della molla.

Poniamo l'origine del sistema di riferimento nella posizione in cui la molla scarica è a riposo e assumiamo positivi gli spostamenti x verso il basso, come indicato nel disegno qui sotto.

L’equazione generale del moto per il punto materiale risulta la seguente:

 

dove i due puntini sopra la x indicano la derivata seconda rispetto al tempo.

La generica soluzione dell’equazione differenziale omogenea:

 

si può scrivere così:

 

dove A e B sono due parametri arbitrari e si ha

Possiamo dunque cercare la soluzione dell’equazione differenziale completa, disomogenea, tra le funzioni della forma:

 

Sostituendo quest’espressione nell’equazione del moto si ottiene la condizione:

 

Come si può verificare facilmente, la soluzione generale dell’equazione del moto risulta quindi la seguente:

 

Si tratta, come era facile intuire, di un moto armonico la cui frequenza

 

è la frequenza propria dell’oscillatore armonico ed è la stessa che si avrebbe se la molla fosse disposta in orizzontale ed il punto materiale potesse scivolare senza attrito, cioè è la stessa che si avrebbe senza la forza peso. Dunque l’applicazione di una forza esterna costante ad un oscillatore armonico produce ancora un moto armonico con la stessa frequenza; l’unico effetto è una traslazione del centro di oscillazione, che si trova ora nella nuova posizione di equilibrio:

 

Questa è la posizione di equilibrio perché in questa posizione le due forze sono uguali e contrarie; infatti:

 

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Vogliamo ora studiare il moto del punto materiale con differenti condizioni iniziali ( C.I. ).

1. Consideriamo la molla inizialmente scarica ed a riposo. Agganciando alla molla l’oggetto di massa m essa scende ed inizia a oscillare attorno alla nuova posizione di equilibrio x_0 . Nell’istante iniziale in cui l’oggetto agganciato alla molla viene lasciato scendere verso il basso lo spostamento dall’origine e la velocità sono quindi nulle. L’oscillazione avviene dunque attorno alla posizione di equilibrio x_0 indicata precedentemente e la sua ampiezza è pari alla distanza tra la posizione iniziale ed il centro di oscillazione.
2. Consideriamo la molla carica ed inizialmente ferma nella sua posizione di equilibrio x_0. Ovviamente il punto materiale non oscilla spontaneamente e rimane fermo nella posizione di equilibrio.
3. Consideriamo la molla carica ed inizialmente ferma in una posizione diversa da quella di equilibrio. Sia Delta x la deformazione iniziale della molla. Questa soluzione corrisponde ad oscillazioni di ampiezza Delta x il cui centro è la posizione di equilibrio x_0 .

 

 

Per quest’ultimo caso è interessante osservare i risultati di misure compiute con un sonar su un pesetto sospeso ad una molla in verticale. Nelle colonne dispari vi sono i tempi, misurati in secondi, mentre nelle colonne pari vi sono le posizioni, misurate in metri rispetto al sonar.

Il grafico corrispondente è il seguente:

Il pendolo e il moto armonico

Il moto di un pendolo è periodico ed oscillatorio ma non è armonico.

In generale, un punto materiale si muove di moto armonico quando l’intensità della risultante delle forze applicate ad esso è direttamente proporzionale al suo spostamento rispetto ad un punto di riferimento in cui esso è in equilibrio.

Nel caso del pendolo la forza che agisce nella direzione del moto è la componente del peso diretta lungo la tangente alla traiettoria (nel disegno qui sotto è indicata come la componente parallela alla tangente).

 

 

Lo spostamento effettivo è rappresentato dall’arco di circonferenza di lunghezza s.

L’intensità della componente P_parallela e la lunghezza s dello spostamento non sono direttamente proporzionali.

Tuttavia P_parallela risulta direttamente proporzionale alla lunghezza x dello spostamento trasversale; infatti, per come è definita la funzione seno, valgono le relazioni:

 

da cui si ottiene la proporzione

 

dove l è, ovviamente, la lunghezza del pendolo.

La proporzionalità ottenuta non è quella che corrisponde all’armonicità. Tuttavia, è evidente che se l’ampiezza delle oscillazioni è piccola lo scarto tra lo spostamento effettivo s e la sua proiezione x ( cioè lo scarto tra l’arco di cerchio e la corda che lo sottende ) è anch’esso piccolo: dunque per oscillazioni di piccola ampiezza l’intensità della forza è, approssimativamente, direttamente proporzionale allo spostamento s ed il moto risulta, sempre approssimativamente, armonico.

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Vogliamo ora valutare la bontà di quest’approssimazione.

Per la lunghezza della corda x si ha:

mentre per la lunghezza dell’arco, confrontando l’angolo al centro con l’intero angolo giro e l’arco con l’intera circonferenza, si ha:

da cui si ricava:

Possiamo valutare lo scarto relativo tra le due quantità:

il calcolo per alcuni valori dell’angolo al vertice fornisce i seguenti risultati:

 

La differenza tra le due espressioni è già dell’ordine dell’1 % per oscillazioni di ampiezza minore di 15°, mentre per un angolo di 45° lo scarto è dell’ordine del 10 %.

La messa in orbita di un satellite

Un satellite, nel suo moto di rivoluzione attorno ad un centro di gravità, è sottoposto solamente alla forza gravitazionale che agisce come forza centripeta deviandolo continuamente verso il centro dell’orbita.

In effetti un satellite cade continuamente verso il centro e contemporaneamente trasla nella direzione indicata, punto per punto, dalla tangente alla circonferenza. Il moto sulla curva risulta dalla composizione di questi due moti (cioè del moto tangenziale e di quello radiale).

Supponiamo per semplicità che il satellite percorra un’orbita circolare.

Durante la fase “stabile” del moto di rivoluzione non vi sono forze agenti sul satellite dirette lungo la circonferenza (o meglio, lungo la tangente ad essa), quindi il modulo della velocità del moto lungo la circonferenza, cioè della velocità tangenziale, deve rimanere costante.

Tale velocità tangenziale deve soddisfare la relazione ben nota

da cui deriva l’espressione per la velocità appropriata ad un’orbita di raggio R

Questa velocità viene impressa ad un satellite artificiale nella fase di messa in orbita. Essi vengono trasportati da un razzo vettore il cui lancio avviene al suolo in direzione verticale (cioè radiale). In seguito il razzo modifica la propria traiettoria curvando progressivamente man mano che si avvicina alla quota dell’orbita; il razzo si inclina gradualmente fino a che la direzione del suo moto è quella della tangente alla circonferenza su cui dovrà orbitare il satellite: a questo punto il razzo vettore si sgancia e libera il satellite, che da qui in poi proseguirà, per inerzia, muovendosi lungo la circonferenza. La velocità tangenziale del satellite è dunque quella che gli è stata impressa dal razzo vettore.

Durante la messa in orbita la forma della traiettoria percorsa dal razzo è rappresentata dal seguente disegno:

 

Problema 15 (per le classi prime): a proposito della Stazione Spaziale Internazionale

La ISS orbita attorno alla Terra ad una quota di circa 350 km rispetto alla superficie terrestre. Nel suo moto di rivoluzione essa è sottoposta, in prima approssimazione, solamente all’attrazione gravitazionale del pianeta Terra. Determinare la sua velocità ed il periodo del suo moto di rivoluzione.

 

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Questo problema è del tutto analogo al problema 13 , tuttavia un calcolo in una situazione realistica è più interessante.

 

AMS-02 è pronto per il trasferimento sulla Stazione Spaziale Internazionale

Si tratta della nuova ( seconda ) versione dello spettrometro magnetico ALPHA ( Alpha Magnetic Spectrometer - AMS ) : la sigla ALPHA si riferisce al nome che era stato assegnato inizialmente alla Stazione Spaziale Internazionale ( International Space Station ALPHA - ISSA ; il nome attuale è semplicemente ISS ) . Lo spettrometro magnetico in questione è uno strumento assai complesso destinato alla individuazione di particelle in transito ed alla determinazione delle loro caratteristiche (principalmente carica elettrica, massa e velocità) .
L'apparecchio ha superato i test preliminari ed è stato trasferito ( il 26 agosto ) al Kennedy Space Center della NASA in attesa di essere trasportato sulla ISS dallo Space Shuttle nel lancio previsto per il 26 febbraio 2011 : AMS-02 verrà agganciato alla ISS presso la quale rimarrà in orbita ed eseguirà misure per alcuni anni.

L'esperimento è destinato a divenire nei prossimi anni uno dei più importanti nella fisica delle particelle e nella cosmologia: AMS-02 è stato progettato per studiare, con sensibilità fino ad ora mai raggiunte, la composizione dei raggi cosmici ; le possibili implicazioni delle eventuali scoperte riguardano principalmente l'esistenza di antimateria (in particolare nuclei di antielio) nel cosmo e la natura della cosiddetta materia oscura .


Si possono trovare molte informazioni, nonché immagini e filmati straordinari, nei siti ufficiali:

ISS : dal sito dell'Agenzia Spaziale Italiana oppure dal sito della NASA ; su Wikipedia .

AMS-02 : http://www.ams02.org oppure su Wikipedia .

Trarremo spunto da questo esperimento per affrontare, a un livello introduttivo, alcuni argomenti di interesse via via più ampio.
Gli argomenti di cui ci occuperemo nei prossimi interventi sono i seguenti :

1. lo spettrometro magnetico ;
2. i raggi cosmici ;
3. l'antimeria ;
4. la materia oscura .