In generale, un punto materiale si muove di moto armonico quando l’intensità della risultante delle forze applicate ad esso è direttamente proporzionale al suo spostamento rispetto ad un punto di riferimento in cui esso è in equilibrio.
Nel caso del pendolo la forza che agisce nella direzione del moto è la componente del peso diretta lungo la tangente alla traiettoria (nel disegno qui sotto è indicata come la componente parallela alla tangente).
Lo spostamento effettivo è rappresentato dall’arco di circonferenza di lunghezza s.
L’intensità della componente P_parallela e la lunghezza s dello spostamento non sono direttamente proporzionali.
Tuttavia P_parallela risulta direttamente proporzionale alla lunghezza x dello spostamento trasversale; infatti, per come è definita la funzione seno, valgono le relazioni:
da cui si ottiene la proporzione
dove l è, ovviamente, la lunghezza del pendolo.
La proporzionalità ottenuta non è quella che corrisponde all’armonicità. Tuttavia, è evidente che se l’ampiezza delle oscillazioni è piccola lo scarto tra lo spostamento effettivo s e la sua proiezione x ( cioè lo scarto tra l’arco di cerchio e la corda che lo sottende ) è anch’esso piccolo: dunque per oscillazioni di piccola ampiezza l’intensità della forza è, approssimativamente, direttamente proporzionale allo spostamento s ed il moto risulta, sempre approssimativamente, armonico.
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Vogliamo ora valutare la bontà di quest’approssimazione.
Per la lunghezza della corda x si ha:
mentre per la lunghezza dell’arco, confrontando l’angolo al centro con l’intero angolo giro e l’arco con l’intera circonferenza, si ha:
da cui si ricava:
Possiamo valutare lo scarto relativo tra le due quantità:
il calcolo per alcuni valori dell’angolo al vertice fornisce i seguenti risultati:
La differenza tra le due espressioni è già dell’ordine dell’1 % per oscillazioni di ampiezza minore di 15°, mentre per un angolo di 45° lo scarto è dell’ordine del 10 %.
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